函子观点

函子观点是代数几何中的观点, 它把几何对象视为在全体概形 (赋予某种拓扑) 构成的景上的层, 也把一些函子直接视为几何对象 (即广义对象). 这一观点基于 Yoneda 引理, 一方面, 几何对象 $X$ 对应的函子是 $h_X=\mathrm{Hom}(-,X)$, $h_X(Y)$ 中元素对应于 $Y$ 到 $X$ 的映射; 另一方面, 函子 $F$ 本身也可以视为某种几何对象, 而 $F(X)$ 中元素可以视为 $X$ 到 $F$ 的态射.

在函子观点下, 概形与态射的各种构造与性质可以用函子的语言来描述 (或模拟), 这些构造因此可以推广到更一般的空间上. 与之相对应的是 “几何观点”, 即直接研究概形与态射等性质.

由于用模问题定义的几何对象天然以函子形式存在, 在模空间理论中直接操作函子有时比操作模空间 (视为概形) 更为方便. 有时模问题并没有概形解, 但仍然可以用函子语言操作它, 并研究它的性质, 这也是代数空间或代数叠的基本思想.

函子观点的另一个好处是, 构成函子 $F$ 的是一些集合 $F(X)$, 因此在操作函子时只需操作集合, 并保证自然性, 而不必管它相应的概形结构, 而避免繁琐的计算 (概形态射的定义较繁). 这一过程相当于把概形重新视为一些点, 而它的几何信息则被 “考虑不同的空间到它的映射” 这一过程隐藏了起来.

下面举出一些应用函子观点的例子.

1例子

以下例子中固定概形 $S$, 以及范畴 ${\mathsf{Sch}}_{/S}$ 上介于 Zariski 拓扑和平坦拓扑中的任意一种拓扑, 使之成为景.

•	概形 $X$ 对应的层是 Yoneda 函子 ${\mathrm{Hom}}_S(-,X)$, 由下降理论可以证明它是层.

•	层之间的映射模拟概形之间的态射, 当两个层均来自于概形时, Yoneda 引理表明二者有一一对应.

•	层之间的满射模拟概形在相应拓扑下的覆盖.

•	概形论中一些泛构造 (如纤维积) 对应相应层的泛构造.

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射影空间虽然通常使用射影谱的方法定义, 但使用射影谱操作较繁. 在函子观点之下, 可以证明射影空间 ${\mathbb{P}}_S^n$ 由函子$$\mathrm{Spec}(A)\mapsto \{秩1直和项N\subset A^{n+1}\}$$决定, 同时也是函子$$\mathrm{Spec}(A)\mapsto \{(a_0,\cdots ,a_n)\in A^{n+1}\mid a_0,\cdots ,a_n生成A\}/A^{\times }$$的层化. 这一观点不仅符合射影空间最原始的直观, 还能更方便操作射影空间, 例如 Segre 嵌入 ${\mathbb{P}}_S^n\times {\mathbb{P}}_S^m\to {\mathbb{P}}_S^{nm+n+m-1}$ 就由$$((a_0,\cdots ,a_n),(b_0,\cdots ,b_m))\mapsto (a_0{b}_0,\cdots ,a_0{b}_m,\cdots ,a_n{b}_0,\cdots ,a_n{b}_m)$$决定, Veronese 嵌入也类似.

•	Graßmann 概形用函子观点也更符合直观: Graßmann 概形 $\mathbf{G}(m,n{)}_S$ 就是由$$\mathrm{Spec}(A)\to \{秩m直和项N\subset A^n\}$$决定的函子. 其上的构造, 例如 Plücker 嵌入, Schubert 胞腔等也均使用函子观点定义.

•	椭圆曲线的模空间并不是概形, 但此函子仍然可以赋予叠的结构, 模形式等构造的性质在叠的观点下也更为自然.