积闭范畴

在范畴论中, 积闭范畴是一类范畴, 指存在幂对象的范畴, 也就是范畴 $\mathcal{C}$, 使得对任两个对象 $x,y\in \mathcal{C}$, 其态射空间 $\mathcal{C}(x,y)$ 也能以某种方式看成 $\mathcal{C}$ 的对象, 称为幂对象.

例如, 集合范畴 $\mathsf{Set}$ 是积闭范畴, 因为对集合 $X,Y$ 而言, $\mathsf{Set}(X,Y)$ 自然就是一个集合.

1定义

定义 1.1. 积闭范畴是指范畴 $\mathcal{C}$, 满足以下条件:

•	$\mathcal{C}$ 具有有限积.

•	$\mathcal{C}$ 上的积幺半结构构成闭幺半范畴.

这里, 第二个条件展开来说, 就是:

•	存在函子$$[-,-]:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C},$$使得有自然同构$$\mathcal{C}(x\times y,z)\simeq \mathcal{C}(x,[y,z]),$$其中两边视为 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}$ 到 $\mathsf{Set}$ 的函子.

这里, 对 $x,y\in \mathcal{C}$, 对象 $[x,y]$ 称为幂对象, 也记为 $y^x$.

2例子

•	集合范畴 $\text{Set}$ 是积闭范畴, 这里幂对象就是普通的集合间映射集.

•	意象是积闭范畴 (事实上它也是局部积闭范畴), 这里幂对象是两个层的映射层.

•	紧生成空间构成积闭范畴.

3相关概念

术语翻译

积闭范畴 • 英文 cartesian closed category • 德文 kartesische abgeschlossene Kategorie • 法文 catégorie fermée cartésienne • 拉丁文 categoria clausa cartesiana