积范畴

本文介绍的是范畴的积. 关于范畴中对象的积, 请参见 “积 (范畴论)”.

积范畴是范畴论中的一种构造. 范畴 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 的积范畴记为 $\mathcal{C}\times \mathcal{D}$, 其中

•	对象为有序对 $(x,y)$, 其中 $x\in \mathcal{C}$, $y\in \mathcal{D}$.

•	态射为有序对 $(f,g)$, 其中 $f,g$ 分别是 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 中态射.

积范畴可以用来定义二元函子、多元函子的概念.

积范畴也是范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的积. 这里, 我们将 $\mathsf{Cat}$ 视为 $2$-范畴, 但 $2$-范畴中的积与普通范畴中没有区别, 也就是说, 这个积与同伦范畴 $\mathsf{Ho}(\mathsf{Cat})$ 中的积是相同的.

1定义

定义 1.1 (积范畴). 设 $I$ 为集合, $({\mathcal{C}}_i{)}_{i\in I}$ 是一族范畴. 这族范畴的积范畴$$\mathcal{C}=\prod _{i\in I}{\mathcal{C}}_i$$是如下定义的范畴:

•	其对象形如 $(x_i{)}_{i\in I}$, 其中对每个 $i$, 有 $x_i\in \mathrm{Ob}({\mathcal{C}}_i)$. 换言之, $$\mathrm{Ob}(\mathcal{C})=\prod _{i\in I}\mathrm{Ob}({\mathcal{C}}_i).$$

•	从对象 $(x_i{)}_{i\in I}$ 到 $(y_i{)}_{i\in I}$ 的态射形如 $(f_i{)}_{i\in I}$, 其中对每个 $i$, 有 $f_i\in {\mathcal{C}}_i(x_i,y_i)$. 换言之, $$\mathcal{C}((x_i{)}_{i\in I},(y_i{)}_{i\in I})=\prod _{i\in I}{\mathcal{C}}_i(x_i,y_i).$$

•	对象 $(x_i{)}_{i\in I}$ 的恒同态射是 $(1_{x_i}{)}_{i\in I}$.

•	态射的复合逐个分量定义.

2例子

•	$0$ 个范畴的积范畴是单点范畴.

•	$1$ 个范畴的积范畴是自身.

3相关概念

术语翻译

积范畴 • 英文 product category • 法文 catégorie produit (f)