多元范畴

多元范畴 (也称为有色算畴) 是范畴的一种推广. 在范畴中, 态射总是从一个对象出发到另一个对象, 例如 $f:x\to y$. 在多元范畴中, 则允许态射从多个对象出发到一个对象, 例如 $f:(x_1,\dots ,x_n)\to y$.

多元范畴常用于定义范畴代数结构. 这里的多元态射对应代数结构中的多元运算, 例如乘法 (二元运算)、单位元 (零元运算), 并给这些运算以约束条件, 例如结合律、单位律.

然而, 并不是所有运算、运算律都能由多元范畴描述. 例如, 群对象中的逆元就无法在多元范畴中描述, 因为在多元范畴中, 没有对角态射 $x\to (x,x)$.

多元范畴是算畴的推广, 也是其胚化. 换言之, 算畴是只有一个对象的多元范畴.

1定义

在定义多元范畴时, 我们会遇到如下麻烦. 对多元范畴 $\mathcal{C}$, 我们希望有态射集$$\mathcal{C}(x_1,\dots ,x_n;y),$$其中 $x_1,\dots ,x_n,y$ 为 $\mathcal{C}$ 的对象. 这一态射集不应取决于 $x_1,\dots ,x_n$ 的顺序. 因此, 若记 ${\mathfrak{S}}_n$ 为置换群, 则对任何 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, 应该有同构$$\mathcal{C}(x_1,\dots ,x_n;y)\simeq \mathcal{C}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)};y).$$特别地, 当这些对象 $x_i$ 中有某些相同时, 这将给出该态射集的自同构. 使用函子的语言能够简洁地描述这一现象, 故我们先作如下定义.

定义 1.1 (置换群胚). 设 $X$ 是集合或类. 定义群胚 $\mathsf{Perm}(X)$ 如下:

•	对象: $X$ 中元素的有限序列 $(x_i\in X{)}_{i\in I}$, 其中 $I$ 为有限集.

•	态射: 从 $(x_i{)}_{i\in I}$ 到 $(x_j^{\prime }{)}_{j\in J}$ 的态射为双射 $\sigma :I\simeq J$, 使得对每个 $i\in I$, 都有 $x_i=x_{\sigma (i)}^{\prime }$.

称群胚 $\mathsf{Perm}(X)$ 为 $X$ 的置换群胚.

定义 1.2 (多元范畴). 多元范畴 $\mathcal{C}$ 由以下信息构成:

•	一个类 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 其元素称为 $\mathcal{C}$ 的对象.

•

对任意有限集 $I$, 及任意一族对象 $(x_i\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{i\in I}$, $y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个集合$$\mathcal{C}((x_i{)}_{i\in I};y),$$其元素称为从各 $x_i$ 到 $y$ 的多元态射, 也称为多元运算. 确切地说, 我们要求有函子$$\mathcal{C}(-;-):\mathsf{Perm}(\mathrm{Ob}(\mathcal{C}))\times \mathrm{Ob}(\mathcal{C})⟶\mathsf{Set},$$其中 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 看作离散范畴, $\mathsf{Set}$ 是集合范畴. 注意, 这里的函子性仅用来描述态射集在各 $x_i$ 的置换下不变这一事实, 而并不描述关于 $\mathcal{C}$ 的函子性.

•	对任意 $x\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个恒同态射$$1_x\in \mathcal{C}(x;x).$$

•

对任意有限集 $I,J$, 映射 $\alpha :I\to J$, 及对象$$(x_i\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{i\in I},(y_j\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{j\in J},z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),$$有一个复合映射$$\begin{array}{rl}\circ :(\prod _{i\in I}\mathcal{C}((x_i{)}_{i\in {\alpha }^{-1}(j)};y_j)))\times \mathcal{C}((y_j{)}_{j\in J};z)& ⟶\mathcal{C}((x_i{)}_{i\in I};z),\\ ((f_j{)}_{j\in J},g)& ⟼g\circ (f_j{)}_{j\in J},\end{array}$$ 确切地说, 我们要求有 $\mathsf{Perm}(\mathrm{Ob}(\mathcal{C}))\times \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to \mathsf{Set}$ 的函子间的自然变换$$\circ :F⟹\mathcal{C}(-;-),$$其中 $F$ 定义为$$F((x_i{)}_{i\in I},z)=\underset{(y_j{)}_{j\in J}\in \mathsf{Perm}(\mathrm{Ob}(\mathcal{C}))}{\mathrm{colim}}\coprod _{\alpha :I\to J}[(\prod _{i\in I}\mathcal{C}((x_i{)}_{i\in {\alpha }^{-1}(j)};y_j)))\times \mathcal{C}((y_j{)}_{j\in J};z)].$$这里仍会遇到集合论问题, 即余极限不一定存在, 因为 $\mathsf{Perm}(\mathrm{Ob}(\mathcal{C}))$ 不一定是小范畴. 为解决此问题, 可以考虑对群胚 $\mathsf{Perm}(\mathrm{Ob}(\mathcal{C}))$ 的对象 $(y_j{)}_{j\in J}$ 的每个等价类, 分别取余极限, 得到一族函子 $F$, 并要求 $\circ$ 给出其中每个函子出发的自然变换.

它们满足以下公理:

•	(单位律) 对任意有限集 $I$, 任意对象 $(x_i\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{i\in I}$, $y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 及任意 $f\in \mathcal{C}(x_1,\dots ,x_n;y)$, 有$$1_y\circ (f)=f=f\circ (1_{x_1},\dots ,1_{x_n}).$$

•

(结合律) 对任意有限集 $I,J,K$, 映射 $\alpha :I\to J$, $\beta :J\to K$, 对象$$(x_i\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{i\in I},(y_j\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{j\in J},(z_k\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{k\in K},w\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),$$及任意$$(f_j\in \mathcal{C}((x_i{)}_{i\in {\alpha }^{-1}(j)};y_j){)}_{j\in J},(g_k\in \mathcal{C}((y_j{)}_{j\in {\beta }^{-1}(k)};z_k){)}_{k\in K},h\in \mathcal{C}((z_k{)}_{k\in K};w),$$有$$(h\circ (g_k{)}_{k\in K})\circ (f_j{)}_{j\in J}=h\circ (g_k\circ (f_j{)}_{j\in {\beta }^{-1}(k)}{)}_{k\in K}.$$

与范畴论的通常约定一致, 我们以 $x\in \mathcal{C}$ 为 $x\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 的简写, 并以 $f:(x_1,\dots ,x_n)\to y$ 表示 $f\in \mathcal{C}(x_1,\dots ,x_n;y)$.

多元范畴间也有函子的概念.

定义 1.3 (多元范畴函子). 设 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 是多元范畴. 函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 由以下信息给出:

•	一个映射$$F:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})⟶\mathrm{Ob}\mathcal{D},$$将 $\mathcal{C}$ 的对象 $x$ 映到 $\mathcal{D}$ 的对象 $F(x)$.

•

对任意有限集 $I$, 任意对象 $(x_i\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{i\in I}$, $y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个映射$$F:\mathcal{C}((x_i{)}_{i\in I};y)⟶\mathcal{D}((F(x_i){)}_{i\in I};F(y)),$$将 $\mathcal{C}$ 的态射 $f:(x_i{)}_{i\in I}\to y$ 映到 $\mathcal{D}$ 的态射 $F(f):(F(x_i){)}_{i\in I}\to F(y)$. 确切地说, 我们要求有 $\mathsf{Perm}(\mathrm{Ob}(\mathcal{C}))\times \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to \mathsf{Set}$ 的函子间的自然变换$$\mathcal{C}(-;-)⟹\mathcal{D}(F(-);F(-)).$$

它们满足以下条件:

•	对每个 $x\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有$$F(1_x)=1_{F(x)}.$$

•

对任意有限集 $I,J$, 映射 $\alpha :I\to J$, 对象$$(x_i\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{i\in I},(y_j\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{j\in J},z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),$$及任意$$(f_j\in \mathcal{C}((x_i{)}_{i\in {\alpha }^{-1}(j)};y_j){)}_{j\in J},g\in \mathcal{C}((y_j{)}_{j\in J};z),$$有$$F(g\circ (f_j{)}_{j\in J})=F(g)\circ (F(f_j){)}_{j\in J}.$$

定义 1.4 (多元范畴自然变换). 设 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 是多元范畴, $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是函子. 则自然变换 $a:F\Rightarrow G$ 由以下信息给出:

•	对 $x\in \mathcal{C}$, 有 $\mathcal{D}$ 中的态射$$a_x:(F(x))\to G(x).$$

并满足如下条件:

•	对任意有限集 $I$, 任意对象 $(x_i\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}){)}_{i\in I}$, $y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 及任意 $f\in \mathcal{C}(x_1,\dots ,x_n;y)$, 有$$a_y\circ (f)=f\circ (a_{x_i}{)}_{i\in I}.$$

于是对多元范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 有函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$, 其对象是函子, 态射是自然变换.

定义 1.5 (承载范畴). 设 $\mathcal{C}$ 是多元范畴. 定义它的承载范畴, 仍记为 $\mathcal{C}$, 与多元范畴 $\mathcal{C}$ 具有相同的对象集, 且有态射 $\mathcal{C}(x,y)=\mathcal{C}((x),y)$.

多元范畴可以看作它的承载范畴上附加了额外的多元态射的结构. 过渡到承载范畴会遗忘一些信息, 但我们可以用另一个更大的范畴来给出多元范畴的全部信息, 称为其全范畴.

这一构造在经典的范畴论中意义不是很大, 但在 $\infty$-范畴理论中, $\infty$-算畴仅能使用此种方法定义和构造.

考虑带点有限集范畴 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 它的对象是带基点的有限集 $(I,\ast \in I)$, 态射是保持基点的映射. 对于 $I=(I,\ast )\in {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 令 $I^{\circ }=I\setminus \{\ast \}$. 对自然数 $n$, 令 $⟨n⟩=\{\ast ,1,2,\cdots ,n\}\in {\mathsf{Fin}}_{\ast }$.

定义 1.6 (全范畴). 设 $\mathcal{C}$ 是多元范畴. 定义它的全范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$, 为如下范畴:

•	${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 的对象是有序对 $(I\in {\mathsf{Fin}}_{\ast },(x_i\in \mathcal{C}{)}_{i\in I^{\circ }})$, 简记为 $(x_i\in \mathcal{C}{)}_{i\in I^{\circ }}$.
•	对象 $(x_i\in \mathcal{C}{)}_{i\in I^{\circ }}$, $(y_j\in \mathcal{C}{)}_{j\in J^{\circ }}$ 间的态射是有序对 $(\alpha :I\to J,(f_j:(x_i{)}_{i\in {\alpha }^{-1}(j)}\to y_j{)}_{j\in J^{\circ }})$. 其中, $\alpha$ 是 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的映射, $f_j$ 是 $\mathcal{C}$ 中的多重态射.

${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 带有遗忘函子 $p:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$. 这个函子叫做全范畴的结构函子.

多元范畴被它的全范畴连同其结构函子唯一确定.

2例子

•

所有算畴都可视为只有一个对象的多元范畴. ∘ 平凡算畴 $\mathsf{Triv}$ 是如下多元范畴: 它的对象集为单点集 $\mathrm{Ob}(\mathsf{Triv})=\ast$, 满足 $\mathsf{Triv}(;\ast )=\varnothing$, $\mathsf{Triv}(\ast ;\ast )=\ast$, 当 $n\ge 2$ 时 $\mathsf{Triv}((\ast {)}_{1\le i\le n};\ast )=\varnothing$. 有显然的复合映射. ∘ 交换算畴 $\mathsf{Comm}$ 是如下多元范畴: 它的对象集为单点集 $\mathrm{Ob}(\mathsf{Comm})=\ast$, 对任意有限集 $I$, $\mathsf{Comm}((\ast {)}_{i\in I};\ast )=\ast$. 有显然的复合映射. 这个多元范畴也称为单点多元范畴, 它是多元范畴的范畴中的终对象, 也记为 $\ast$. 下面我们会看到这个多元范畴得名由来. ∘ 结合算畴 $\mathsf{Assoc}$ 是如下多元范畴: 它的对象集为单点集 $\mathrm{Ob}(\mathsf{Assoc})=\ast$, 对指标集 $I$, 令 $\mathsf{Assoc}((\ast {)}_{i\in I};\ast )$ 上的 $|I|!$ 个全序构成的集合. 复合定义如下: 给定 $\alpha :I\to J$, 给定 $f_j:(\ast {)}_{i\in {\alpha }^{-1}(j)}\to \ast$, $g:(\ast {)}_{j\in J}\to \ast$, $g$ 为 $J$ 上的全序, $f_j$ 为 ${\alpha }^{-1}(j)$ 上的全序. 令 $g\circ (f_j{)}_{j\in J}$ 为 $I$ 上的唯一全序, 使得 $i<i^{\prime }$ 当且仅当 (1) $\alpha (i)<\alpha (i^{\prime })$, 或 (2) $j=\alpha (i)=\alpha (i^{\prime })$ 且在 ${\alpha }^{-1}(j)$ 中 $i<i^{\prime }$.

•

设 $(\mathcal{A},\otimes )$ 是对称幺半范畴. 我们定义多元范畴, 仍记为 $\mathcal{A}$, 如下: 它的对象集即为对称幺半范畴 $\mathcal{A}$ 的对象集, 对 $x_i(i\in I),y\in \mathcal{A}$, 令多元态射集$$\mathcal{A}((x_i{)}_{i\in I};y)=\mathcal{A}(\underset{i\in I}{⨂}{x}_i,y).$$ 我们可以从这个多元范畴复原对称幺半范畴 $(\mathcal{A},\otimes )$. 显然, 范畴 $\mathcal{A}$ 即为多元范畴 $\mathcal{A}$ 的承载范畴; 而对称幺半结构 $\otimes$ 则来自于自然同构$${\mathcal{A}}^{\otimes }((x_i{)}_{i\in I};y)=\mathcal{A}(\underset{i\in I}{⨂}{x}_i,y).$$和 Yoneda 引理.

•

设 $\mathcal{A}$ 是对称幺半范畴. 我们有自然等价 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Comm},\mathcal{A})=\mathsf{CAlg}(\mathcal{A})$, $\mathsf{Fun}(\mathsf{Assoc},\mathcal{A})=\mathsf{Alg}(\mathcal{A})$. 其中, $\mathsf{Alg}(\mathcal{A}),\mathsf{CAlg}(\mathcal{A})$ 分别表示 $\mathcal{A}$ 的代数对象与交换代数对象的范畴. 详细证明我们略去, 仅作一些说明: 对于 $F:\mathsf{Comm}\to \mathcal{A}$, 则 $A=F(\ast )\in \mathcal{A}$ 为该交换代数对象的承载对象. 令 $e:()\to \ast$ 为 $\mathsf{Comm}$ 的唯一零元运算, 令 $m:(\ast ,\ast )\to \ast$ 为 $\mathsf{Comm}$ 的唯一二元运算, 则多元范畴 $\mathcal{A}$ 中零元运算 $F(e):()\to A$ 与二元运算 $F(m):(A,A)\to A$ 分别给出了 $\mathcal{A}$ 中映射 $e:1_{\mathcal{A}}\to A$ 与 $m:A\otimes A\to A$, 它们是该交换代数对象的单位映射与乘法映射. 而交换代数对象的诸公理则来自于 $F$ 的函子公理, 详细证明略去. 对非交换情形有类似结论. 直观上, $\mathsf{Assoc}((\ast {)}_{i\in I};\ast )$ 的各个元素给出了代数对象 $F(\ast )$ 的与 $I$ 上的序相关的 $|I|!$ 个乘法.

3相关概念

•	算畴
•	$\infty$-算畴

术语翻译

多元范畴 • 英文 multicategory • 法文 multicatégorie (f) • 拉丁文 multicategoria (f) • 古希腊文 πολυκατηγορία (f)

有色算畴 • 英文 coloured operad • 美式英文 colored operad • 法文 opérade colorée (f) • 拉丁文 operas colorata (f) • 古希腊文 κεχρωματισμένη τελάς (f)