双积

在范畴论中, 若一族对象的积与余积相同, 则称之为这族对象的双积. 例如, 在任何加性范畴中, 两个对象 $x,y$ 的直和 $x\oplus y$ 都满足此性质.

若一个范畴中任意有限个对象都有双积, 则该范畴称为半加性范畴.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是带点范畴, 设 $(x_i{)}_{i\in I}$ 是 $\mathcal{C}$ 中一族对象. 假如这族对象的积与余积都存在, 并考虑态射$$r:\coprod _{i\in I}{x}_i⟶\prod _{i\in I}{x}_i,$$它由各 $x_i$ 的恒同态射及零态射 $0:x_i\to x_j$ $(i\ne j)$ 诱导. 若态射 $r$ 是同构, 则称这两个同构的对象为 $(x_i{)}_{i\in I}$ 的双积, 记作$$\underset{i\in I}{⨁}{x}_i.$$

2例子

•	$0$ 个对象的双积 (如果存在) 即零对象; $1$ 个对象的双积即其自身.

•	在加性范畴中, 有限个对象的双积即其直和.

3相关概念

术语翻译

双积 • 英文 biproduct