加权余极限

加权余极限是余极限的推广, 它之于余极限就如同加权平均之于平均数.

1定义

本节中固定小范畴 $J$ 作为图表的指标范畴.

普通范畴中

定义 1.1. $\mathcal{C}$ 是范畴, $F:J\to \mathcal{C}$、$W:J^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 是两个函子. 则 $F$ 关于 $W$ 的加权余极限指对象 $W\cdot F\in \mathcal{C}$ 附带关于 $c\in \mathcal{C}$ 自然的同构$$\mathcal{C}(W\cdot F,c)\cong {\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Set}}^{J^{\mathrm{op}}}}(W,\mathcal{C}(F(-),c)).$$称 $F$ 为此加权余极限的图表, 称 $W$ 为其权.

充实范畴中

定义 1.2. $\mathcal{V}$ 是有内 $\mathrm{Hom}$ 函子的幺半范畴, $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{V}$-充实范畴, $F:J\to \mathcal{C}$、$W:J^{\mathrm{op}}\to \mathcal{V}$ 是两个函子. 则 $F$ 关于 $W$ 的加权余极限指对象 $W\cdot F\in \mathcal{C}$ 附带关于 $c\in \mathcal{C}$ 自然的同构$$\mathcal{C}(W\cdot F,c)\cong {\underline{\mathrm{Hom}}}_{{\mathcal{V}}^{J^{\mathrm{op}}}}(W,\mathcal{C}(F(-),c)),$$其中 $\underline{\mathrm{Hom}}$ 表示内 $\mathrm{Hom}$. 称 $F$ 为此加权余极限的图表, 称 $W$ 为其权.

显然当 $\mathcal{V}=(\mathsf{Set},\times )$ 时, 定义 1.2 退化到定义 1.1.

2例子

例 2.1. 在定义 1.1 中取 $J=\ast$ 为单点范畴, 则 $F$ 相当于 $\mathcal{C}$ 中一个对象, $W$ 相当于一个集合. 此时$$\mathsf{Set}(W,\mathcal{C}(F,c))=\mathcal{C}(F,c{)}^W,$$所以 $W\cdot F={\coprod }_{w\in W}F$, 是 $W$ 个 $F$ 的余积.

例 2.2. 在定义 1.2 中取 $J$ 为单点范畴, 此时 $W\cdot F$ 常被记为 $W\otimes F$, 称为余幂.

例 2.3. 在定义 1.1 中取 $W$ 为取值为单点集的常函子. 则$${\mathsf{Set}}^{J^{\mathrm{op}}}(W,\mathcal{C}(F(-),c))={\mathcal{C}}^J(F(-),c),$$这里 $c$ 表示取值为 $c$ 的常函子 $J\to \mathcal{C}$. 所以此时 $W\cdot F=\mathrm{colim}F$.

术语翻译

加权余极限 • 英文 weighted colimit