Kleisli 范畴

在范畴论中, Kleisli 范畴对于单子 $T$ 和范畴 $\mathcal{C}$ 而言, 是指对象继承自 $\mathcal{C}$ 而态射形如 $\mathcal{C}(X,T(Y))$ 的范畴. 在这种情况下, 态射复合需要进行一次单子的复合操作.

1定义

使用自由代数

使用 Kleisli 态射

定义 1.1. 对于 $\mathcal{C}$ 上的单子 $T$, Kleisli 范畴 ${\mathcal{C}}_T$ 包含如下数据:

•	对象为 $\mathcal{C}$ 中的对象,

•	态射 ${\mathcal{C}}_T(X,Y)$ 为 $\mathcal{C}(X,T(Y))$, 又叫 Kleisli 态射,

•	对于 $f\in {\mathcal{C}}_T(X,Y),g\in {\mathcal{C}}_T(Y,Z)$, 它们的复合 (又叫 Kleisli 复合) 定义为$$\begin{array}{rl}& g\circ f:X\stackrel{f}{⟶}T(Y)\stackrel{T(g)}{⟶}T(T(Z))\stackrel{{\mu }_Z}{⟶}T(Z)\\ & g\circ f:={\mu }_Z\circ T(g)\circ f\end{array}$$其中 ${\mu }_Z$ 是 $T$ 的复合操作,

•	恒同态射定义为 $T$ 的单位元 ${\eta }_X:X\to T(X)$.

2性质

3相关概念

•

单子

术语翻译

Kleisli 范畴 • 英文 Kleisli category