态射函子

在范畴论中, 一个范畴 $\mathcal{C}$ 的态射函子是指二元函子$$\mathcal{C}(-,-):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}⟶\mathsf{Set},$$它将对象 $x,y\in \mathcal{C}$ 映到态射集 $\mathcal{C}(x,y)$.

对 $x\in \mathcal{C}$, 能得到固定一个变元的态射函子$$\begin{array}{rl}\mathcal{C}(-,x)& :{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}⟶\mathsf{Set},\\ \mathcal{C}(x,-)& :\mathcal{C}⟶\mathsf{Set}.\end{array}$$这两类函子称为可表函子. 通过将对象 $x$ 对应到上述两种函子, 可以将态射函子也视为$$\begin{array}{rl}\mathcal{C}& ⟶\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\text{或}\\ {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}& ⟶\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set}),\end{array}$$的函子, 这两个新的函子称为 Yoneda 嵌入.

1定义

定义 1.1. 范畴 $\mathcal{C}$ 的态射函子是指二元函子$$\mathcal{C}(-,-):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}⟶\mathsf{Set}.$$确切的定义如下:

•	对象 $x,y\in \mathcal{C}$ 被映到态射集 $\mathcal{C}(x,y)$.

•

对 $x,x^{\prime },y,y^{\prime }\in \mathcal{C}$ 及态射 $f\in \mathcal{C}(x^{\prime },x)$, $g\in \mathcal{C}(y,y^{\prime })$, 有 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}$ 中的态射 $(f^{\mathrm{op}},g)$. 态射函子将该态射变换到 $\mathsf{Set}$ 中的态射, 即集合映射$$g\circ (-)\circ f:\mathcal{C}(x,y)⟶\mathcal{C}(x^{\prime },y^{\prime }).$$

2相关概念

•

Yoneda 嵌入

术语翻译

态射函子 • 英文 Hom functor