族纤维化

约定. 在本文中,

箭头范畴记作 $C^{\to}$ 而不是 $C^{I}$ , 这是为了将符号 $I$ 用作其它集合的名称.

族纤维化是范畴上的以集合为指标的族的结构.

考虑范畴 $C$ , 我们将它的对象和态射放进族里, 构造出新的范畴 $Fam (C)$ , 对象形如 $(X_{i})_{i \in I}$ , 其中 $I$ 是集合, 而 $X_{i} \in Ob (C)$ . 态射的定义稍微复杂, 不过基本也是由 $C$ 中以集合为指标, 态射构成的族组成, 见 1.1. 对于 $Fam (C)$ , “遗忘” 掉指标之外的信息的函子是一个纤维范畴, 该函子就是族纤维化.

族纤维化 $C = Set$ 的特殊情况是箭头纤维化.

1定义

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定义 1.1 (族). 对于范畴 $C$ , 构造如下范畴 $Fam (C)$ :

•	对象形如 $(X_{i})_{i \in I}$ , 其中 $I$ 是集合, 而 $X_{i} \in Ob (C)$ .

•

对于对象 $(X_{i})_{i \in I}$ 和 $(Y_{j})_{j \in J}$ , 其间的态射包含以下数据:

∘	集合映射 $u : I \to J$ .
∘	一族以 $I$ 为指标的 $C$ 中的态射 $f_{i} \in C (X_{i}, Y_{u (i)})$ .

•

态射之间的复合方式如下. 考虑对象 $(X_{i})_{i \in I}$ , $(Y_{j})_{j \in J}$ 和 $(Z_{k})_{k \in K}$ , 现在复合这之间的两态射 $(X_{i})_{i \in I} (Y_{j})_{j \in J} (Z_{k})_{k \in K} ⟨ u, (f_{i})_{i \in I} ⟩ ⟨ v, (g_{j})_{j \in J} ⟩$ 需要构造的态射中, 第一部分显然是 $(v \circ u)$ , 第二部分是如下族. 对于任意 $i \in I$ , 构造如下态射: $X_{i} Y_{u (i)} Z_{v (u (i))} f_{i} g_{u (i)}$

例 1.2. 对于集合范畴 $Set$ , $Fam (Set)$ 等价于 $Set^{\to}$ .

定义 1.3. 对于范畴 $C$ 和 $Fam (C)$ , 如下遗忘函子叫做族纤维化: $Fam (C) (X_{i})_{i \in I} ⟨ u, (f_{i})_{i \in I} ⟩ \to Set \mapsto I \mapsto u$

引理 1.4. 容易验证 1.3 中的函子是纤维范畴. 对于集合 $I$ , 其上的纤维是函子范畴 $Fun (I, C)$ , 其中 $I$ 在此处被看作态射平凡的范畴.

术语翻译

族纤维化 • 英文 family fibration

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