万有构造

万有构造 (或泛构造) 是范畴论中的一类构造, 常见于数学的诸多领域中, 是指如下的过程: 为了构造某一未知的数学对象 $X$, 我们要求 $X$ 满足万有性质 (或泛性质), 可以是以下两者之一:

•	对任何对象 $Y$, 为了给出 $Y$ 到 $X$ 的映射, 只需给出某种与 $Y$ 有关的信息, 但不提及 $X$.

•	对任何对象 $Y$, 为了给出 $X$ 到 $Y$ 的映射, 只需给出某种与 $Y$ 有关的信息, 但不提及 $X$.

下面 §1 中有一些直观的例子. 这里, “万有” 是指该性质需要 “对一切 $Y$” 都满足.

更准确地说, $X$ 满足某种万有性质, 是说:

•	$X$ 通过 Yoneda 嵌入所得的可表函子同构于某个预先给定的函子.

由 Yoneda 引理, 通过万有构造得到的对象如果存在, 则必在同构意义下唯一. 因此可以说:

•	万有构造就是通过指定一个可表函子, 来指定一个对象.

范畴论中很多重要概念都是由万有构造定义的, 包括可表函子、伴随函子、Kan 扩张、余极限、极限等等.

1想法

万有构造在数学中几乎无处不在. 例如:

•	对集合 $A,B,C$ 而言, 映射 $f:A\to B\times C$ 常常写为 $f(a)=(g(a),h(a))$ 的形式, 这里 $g,h$ 分别是 $A$ 到 $B,C$ 的映射. 这即是 Descartes 积 $B\times C$ 的万有性质. 具体地说, 集合 $X$ 满足这一万有性质, 是说: ∘ 对任何集合 $A$, 为了给出 $A$ 到 $X$ 的映射, 只需给出一个 $A$ 到 $B$ 的映射和一个 $A$ 到 $C$ 的映射. 这一性质唯一决定了 $X$, 并保证它一定是 $B\times C$.

•	对环 $A,B$ 而言, 为给出环同态 $f:A[x]\to B$, 只需给出一个同态 $A\to B$, 及一个元素 $b\in B$, 后者决定 $x$ 映到哪里. 这是 $A[x]$ 的万有性质, 这一性质唯一决定了 $A[x]$.

•	对向量空间 $A,B,C$ 而言, 为给出线性映射 $A\otimes B\to C$, 只需给出一个双线性映射 $A\times B\to C$. 这就是张量积 $A\otimes B$ 的万有性质.

当然, 这种构造方式并不总是良好定义的. 可能有两个问题:

•	存在性: 给定一种万有性质, 可能并没有任何对象 $X$ 满足该万有性质.

•	唯一性: 可能有多个 $X$ 都满足同一万有性质.

这里, 唯一性总是没有问题的, 因为由 Yoneda 引理, 所有满足同一万有性质的对象一定同构. 但一般而言, 存在性通常并没有保证, 所以需要额外验证.

2定义

定义 2.1 (万有构造). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴.

•	给定函子 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$, 称对象 $x\in \mathcal{C}$ 满足 $F$ 所确定的 (协变) 万有性质, 如果有自然同构$$\mathcal{C}(x,-)\simeq F.$$

•	给定函子 $F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$, 称对象 $x\in \mathcal{C}$ 满足 $F$ 所确定的 (反变) 万有性质, 如果有自然同构$$\mathcal{C}(-,x)\simeq F.$$

在以上两种情况下, 如果这样的 $x$ 存在, 则由 Yoneda 引理, 它在同构意义下唯一. 我们称之为关于 $F$ 的万有构造.

3例子

4相关概念

术语翻译

万有构造 • 英文 universal construction • 德文 universelle Konstruktion (f) • 法文 construction universelle (f)

万有性质 • 英文 universal property • 德文 universelle Eigenschaft (f) • 法文 propriété universelle (f)