迹类态射

迹类态射是幺半范畴中一类态射, 是泛函分析中迹类算子的范畴论类比.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是幺半范畴, $f:X\to Y$ 是其中态射. 称 $f$ 为

•	左迹类, 指存在 $Z\in \mathcal{C}$、$\alpha :1\to Z\otimes Y$、$\beta :X\otimes Z\to 1$, $$f=(\beta \otimes Y)\circ (X\otimes \alpha ).$$
•	右迹类, 指存在 $Z\in \mathcal{C}$、$\alpha :1\to Y\otimes Z$、$\beta :Z\otimes X\to 1$, $$f=(Y\otimes \beta )\circ (\alpha \otimes X).$$

如 $\mathcal{C}$ 是对称幺半范畴, 则以上两个概念一样, 称为迹类.

定义 1.2 (迹类态射生象). 在高阶范畴论中, 迹类态射不是态射的性质, 而是额外数据. 具体地说, 设 $\mathcal{C}$ 是幺半 $(\infty ,1)$-范畴, $X,Y\in \mathcal{C}$, 则 $X$ 到 $Y$ 的迹类态射组成的生象定义为$${\mathrm{Hom}}^{迹}(X,Y):=\underset{(Z,\alpha ,\beta )}{\mathrm{colim}}\ast ;$$这里指标范畴为定义 1.1 中的数据构成的范畴, 比如对左迹类映射就是 ${\mathcal{C}}_{1/(-\otimes Y),(X\otimes -)/1}$; $\ast$ 指单点生象, 而对单点生象取余极限就是取指标范畴的几何实现, 也就是把指标范畴所有映射逆掉得到的生象. 于是$$(Z,\alpha ,\beta )\mapsto (\beta \otimes Y)\circ (X\otimes \alpha )$$给出生象态射 ${\mathrm{Hom}}^{左迹}(X,Y)\to \mathrm{Hom}(X,Y)$, 右边类似; 说 “迹类态射不是态射的性质” 就是说这个生象态射一般情况下不是 $(-1)$-截断的.

当 $\mathcal{C}$ 是左闭幺半 $(\infty ,1)$-范畴, 即 $X\otimes -$ 有右伴随 ${\underline{\mathrm{Hom}}}^{左}(X,-)$ 时, 不难发现$${\mathrm{Hom}}^{左迹}(X,Y)=\mathrm{Hom}(1,{\underline{\mathrm{Hom}}}^{左}(X,1)\otimes Y);$$同样当 $\mathcal{C}$ 右闭时$${\mathrm{Hom}}^{右迹}(X,Y)=\mathrm{Hom}(1,Y\otimes {\underline{\mathrm{Hom}}}^{右}(X,1)).$$

2性质

本节中, $\mathcal{C}$ 是幺半范畴 (或幺半 $(\infty ,1)$-范畴), 迹类指左迹类. 右迹类情形道理相同.

命题 2.1. 设 $f:X\to Y$、$g:X^{\prime }\to X$、$h:Y\to Y^{\prime }$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射. 如 $f$ 迹类, 则 $h\circ f\circ g$ 迹类.

证明. 设 $Z\in \mathcal{C}$、$\alpha :1\to Z\otimes Y$、$\beta :X\otimes Z\to 1$ 满足$$f=(\beta \otimes Y)\circ (X\otimes \alpha ),$$则 ${\alpha }^{\prime }=(Z\otimes h)\circ \alpha :1\to Z\otimes Y^{\prime }$、${\beta }^{\prime }=\beta \circ (g\otimes Z):X^{\prime }\otimes Z\to 1$ 满足$$h\circ f\circ g=({\beta }^{\prime }\otimes Y)\circ (X\otimes {\alpha }^{\prime }).$$$\square$

注 2.2. 由证明可以发现, 命题 2.1 可以推广到高阶.

3相关概念

•	核对象
•	刚性范畴
•	局部刚性范畴

术语翻译

迹类态射 • 英文 trace-class morphism