Calabi–丘流形

在复几何与代数几何中, Calabi–丘流形是一类紧 Kähler 流形, 其典范丛平凡. 例如, 复 $1$ 维的 Calabi–丘流形是椭圆曲线; 复 $2$ 维的 Calabi–丘流形包括 $2$ 维复环面和 K3 曲面. 这一概念也可以推广到一般的域上, 即 Calabi–丘簇, 也就是指典范丛平凡的紧合、光滑簇.

由于 Calabi–丘定理, Calabi–丘流形上存在 Ricci 曲率为零的 Kähler 度量. 在广义相对论中, Einstein 场方程描述了时空的度量与其中物质分布的联系. 如果假设宇宙常数为零, 则真空中该方程等价于 Ricci 曲率为零的条件, 故而 Calabi–丘流形是真空场方程的解. 在弦论中, 额外的空间维度也由 Calabi–丘流形描述: 超弦论要求时空是 $10$ 维流形 $M\times X$, 其中 $M$ 是我们所见的 $4$ 维时空, 而 $X$ 是一个复 $3$ 维的紧 Calabi–丘流形, 其尺度十分微小, 故不为我们所见. 弦论学家提出了镜像对称的概念, 它将 Calabi–丘流形的几何与另一个 Calabi–丘流形的几何联系起来. 这一概念至今未被严格叙述和证明, 成为几何学家最感兴趣的问题之一.

另一方面, 从某种意义上说, Calabi–丘流形、Calabi–丘簇也是定向流形在复几何、代数几何中的类比. $n$ 维光滑流形的定向可以由处处非零的 $n$ 次微分形式给出, 而相应地, $n$ 维 Calabi–丘流形则具有处处非零的 $n$ 次全纯微分形式.

Calabi–丘流形得名于 Calabi 猜想 (即 Calabi–丘定理) 的提出者 Eugenio Calabi, 及其解决者丘成桐.

1定义

在复几何中

定义 1.1 (Calabi–丘流形). Calabi–丘流形是指紧 Kähler 流形 $X$, 其典范丛是平凡丛: $K_X\simeq {\mathcal{O}}_X$.

注 1.2. 在文献中, 有时使用更弱的定义, 不要求典范丛是平凡丛, 而仅要求流形的第一陈类为零: $c_1(X)=0$. 这等价于典范丛是平凡的拓扑向量丛, 但并不一定是平凡的全纯向量丛.

另一些文献中使用更强的定义, 不仅要求典范丛平凡, 还要求层上同调 $H^i(X,{\mathcal{O}}_X)=0$, 其中 $i=1,\dots ,{\dim }_{\mathbb{C}}X-1$. 这种更强的概念有时也称为严格 Calabi–丘流形.

在本文中, 我们以定义 1.1 为准.

在代数几何中

定义 1.3 (Calabi–丘簇). 域 $k$ 上的 Calabi–丘簇是指 $k$ 上的紧合、光滑簇 $X$, 其典范丛 $K_X$ 是平凡丛: $K_X\simeq {\mathcal{O}}_X$.

2例子

$1$ 维

$1$ 维的 Calabi–丘流形是椭圆曲线.

$2$ 维

单连通的 $2$ 维 Calabi–丘流形就是 K3 曲面, 它们都是代数曲面.

非单连通的 $2$ 维 Calabi–丘流形是 $2$ 维复环面. 多数复环面并不是代数的, 其中确实是代数的那些是 Abel 曲面.

$3$ 维

$3$ 维 Calabi–丘流形至今未能分类, 甚至不知道其拓扑类的数目是否有限. 丘成桐猜想每一维数下这个数目都有限. 但即使真的有限, 这个数目也相当庞大, 目前已构造出至少三万种可能的 Hodge 菱形 [Kreuzer–Skarke 2000].

一个最著名的例子是 ${\mathbb{CP}}^4$ 中的五次三维流形, 由方程$$x_0^5+x_1^5+x_2^5+x_3^5+x_4^5-5\psi x_0{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4=0$$给出, 其中参数 $\psi \in \mathbb{C}$ 不为 $0$ 或五次单位根.

一般维数

在 ${\mathbb{CP}}^{n+1}$ 中, 由 $n+2$ 次多项式定义的超曲面是 $n$ 维 Calabi–丘流形.

更一般地, 设 $X$ 是 ${\mathbb{CP}}^n$ 中次数为 $(d_1,\dots ,d_r)$ 的光滑完全交. 如果 $d_1+\cdots +d_r=n+1$, 由伴随公式可知 $X$ 的典范丛平凡, 即 $X$ 是 $n-r$ 维 Calabi–丘流形.

3相关概念

•	镜像对称
•	Donaldson–Thomas 不变量
•	Calabi–丘范畴

4参考文献

关于 Calabi–丘流形各方面研究的综述:

•	Shing-Tung Yau (2008). “A survey of Calabi–Yau manifolds”. Surveys in Differential Geometry 13 (1), 277–318. (doi) (pdf)

$3$ 维 Calabi–丘流形的批量构造:

•	Maximilian Kreuzer, Harald Skarke (2000). “Complete classification of reflexive polyhedra in four dimensions”. Advances in Theoretical and Mathematical Physics 4 (6), 1209–1230. arXiv: hep-th/0002240. (doi)

术语翻译

Calabi–丘流形 • 英文 Calabi–Yau manifold • 德文 Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit • 法文 variété de Calabi–Yau

Calabi–丘簇 • 英文 Calabi–Yau variety • 德文 Calabi-Yau-Varität • 法文 variété de Calabi–Yau