环

环是一种代数结构, 指带有相容的加法、乘法两种运算的集合. 例如,

•	整数集 $\mathbb{Z}$ 在我们熟知的加法、乘法运算下构成环.

•	所有域, 包括有理数域 $\mathbb{Q}$、实数域 $\mathbb{R}$ 等, 也都是环.

在环中, 我们并不要求乘法满足交换律. 那些乘法满足交换律的环称为交换环, 这一类环也是最先开始研究的环. 研究交换环的学科称为交换代数, 它为代数数论、同调代数、代数几何等学科提供了基础. 代数几何提供了代数–几何对偶的观点, 在此观点下, 环与空间相对偶, 从而可以通过环的性质来研究空间的性质.

而对那些一般的环, 也就是不一定交换的环, 研究它们的学科称为非交换代数. 非交换环是表示论的主要研究对象之一, 非交换性也是量子力学、量子场论中的核心要素. 另外, 基于代数–几何对偶, 也可以将非交换环对应于 “非交换空间”, 这一学科称为非交换几何.

从范畴代数的观点看, 环是 Abel 群范畴 $\mathsf{Ab}$ 中的幺半对象, 这是范畴代数的一个基本例子. 基于这一点, 在高阶代数中, 可以将环推广为 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-环、${\mathbb{E}}_{\infty }$-环, 这些代数结构是研究高阶几何的基础.

1定义

定义 1.1 (环). 环是三元组 $(A,+,\cdot )$, 其中 $+,\cdot$ 是 $A$ 上的二元运算, 分别称为加法、乘法, 并且当两元素相乘时, 乘号 $\cdot$ 常常省略不写. 我们要求加法、乘法满足以下条件:

•	$(A,+)$ 构成 Abel 群, 其单位元记为 $0$. 具体来说, 加法应满足以下性质: ∘ 加法满足结合律: 对任意 $a,b,c\in A$, 有$$(a+b)+c=a+(b+c).$$ ∘ 加法满足交换律: 对任意 $a,b\in A$, 有$$a+b=b+a.$$ ∘ 加法具有单位元 $0\in A$, 称为零元, 满足单位律: 对任意 $a\in A$, 有$$0+a=a.$$ ∘ 对任意 $a\in A$, 存在元素 $-a\in A$, 使得$$a+(-a)=0.$$

•	$(A,\cdot )$ 构成幺半群, 其单位元记为 $1$. 具体来说, 乘法应满足以下性质: ∘ 乘法满足结合律: 对任意 $a,b,c\in A$, 有$$(ab)c=a(bc).$$ ∘ 乘法具有单位元 $1\in A$, 称为幺元或环的单位元, 满足单位律: 对任意 $a\in A$, 有$$1a=a=a1.$$

•	乘法对加法满足分配律: 对任意 $a,b,c\in A$, 有$$\begin{array}{rl}(a+b)c& =ac+bc,\\ c(a+b)& =ca+cb.\end{array}$$

如不引起歧义, 此三元组也可简记为 $A$ .

注 1.2. 我们定义的环带有乘法单位元 $1$. 不含单位元的环则称为无幺环, 这是数学术语中白马非马的一个例子. 如需强调乘法单位元, 可称环为幺环.

环之间保持环结构的映射称为环同态.

定义 1.3 (环同态). 环 $A,B$ 之间的环同态是指映射$$f:A⟶B,$$满足以下条件:

•	$f$ 与加法和乘法相容: 对任意 $a,b\in A$, 有$$\begin{array}{rl}f(a+b)& =f(a)+f(b),\\ f(ab)& =f(a)f(b).\end{array}$$

•	$f$ 保持单位元, 即$$f(1_A)=1_B,$$其中 $1_A$ 和 $1_B$ 分别为 $A,B$ 的单位元.

定义 1.4 (环范畴). 所有环构成一范畴, 其中态射为环的同态, 称为环范畴, 记为 $\mathsf{Ring}$ .

2例子

•	零环是只有一个元素的环, 记为 $0$. 它也是唯一的满足 $1=0$ 的环.

•

所有域都是环.

•	所有整数在通常的加法、乘法下构成环 $\mathbb{Z}$.

•	环 $A$ 上所有 $n\times n$ 矩阵在矩阵加法、矩阵乘法下构成环, 称为矩阵环. 矩阵环一般不是交换环.

•	环 $A$ 上的所有 $n$ 元多项式构成多项式环 $A[x_1,\dots ,x_n]$.

3相关概念

术语翻译

环 • 英文 ring • 德文 Ring (m) • 法文 anneau (m) • 拉丁文 anellus (m) • 古希腊文 δακτύλιος (m) • 日文 環 (かん) • 韩文 환 (環)